בגרות 571 חורף 2025, שאלה 5טריגונומטריה 571 · שיעור 53
📄 נוסח השאלה
נתון מעגל שמרכזו O ורדיוסו R. מן הנקודה A העבירו שני ישרים AB ו־AC המשיקים למעגל. הנקודה E היא נקודת ההשקה של הישר AC למעגל, כמתואר בסרטוט.
נתון: BO ⊥ AO , AE = CE. את הזווית BAC מסמנים בשאלון באות; כאן נסמן ∢BAC = 2 · ∢OAC (בהמשך נראה ש־AO חוצה את הזווית).
א. הביעו באמצעות R ו־∢OAC את האורך של AB.
📄 נוסח השאלה · המשך
נתון כי האורך של AB הוא 2.5R, והזווית BAC היא זווית חדה. ב. מצאו את הערך של ∢OAC.
ג. מצאו את היחס בין שטח המשולש ABC ובין שטח המשולש AOB.
נתון כי האורך של רדיוס המעגל החוסם את המשולש ABC הוא 14. ד. מצאו את הערך של R.
סעיף א – האורך AB
AO חוצה את הזווית BAC, ולכן ∢OAB = ∢OAC.
📐 משפט
במשולש ישר הזווית AEO (OE ⊥ AC, רדיוס לנקודת ההשקה): OE = R הוא הניצב מול הזווית ∢OAC:
sin∢OAC = OEAO
📐 נוסחה: sin במשולש ישר זווית
נציב OE = R:
sin∢OAC = RAO
AO = Rsin∢OAC
📐 משפט
מרכז מעגל החסום בזווית נמצא על חוצה הזווית – שני המשיקים מנקודה אחת יוצרים זוויות שוות עם הקטע למרכז
📐 נוסחה: sin במשולש ישר זווית
sin = ניצב מול הזוויתיתר
סעיף א – האורך AB · המשך
AO = Rsin∢OAC
במשולש ישר הזווית ABO (∢AOB = 90 מעלות): AB היתר ו־AO הניצב ליד הזווית ∢OAB = ∢OAC:
cos∢OAC = AOAB
📐 נוסחה: cos במשולש ישר זווית
AB = AOcos∢OAC
נציב AO = Rsin∢OAC:
AB = Rsin∢OACcos∢OAC
📐 נוסחה: cos במשולש ישר זווית
cos = ניצב ליד הזוויתיתר
סעיף א – האורך AB · המשך
AB = Rsin∢OACcos∢OAC
AB = Rsin∢OAC · cos∢OAC
נכפול מונה ומכנה ב־2, כדי לקבל במכנה סינוס של זווית כפולה:
AB = 2R2sin∢OAC · cos∢OAC
AB = 2Rsin(2 · ∢OAC) = 2Rsin∢BAC
📐 נוסחה: סינוס של זווית כפולה
✅ פתרון סופי: AB = 2Rsin(2∢OAC)
📐 נוסחה: סינוס של זווית כפולה
sin(2x) = 2sin x cos x
סעיף ב – גודל הזווית
AB = 2Rsin∢BAC
נציב AB = 2.5R (נתון):
2Rsin∢BAC = 2.5R
sin∢BAC = 0.8
∢BAC חדה:
∢BAC ≈ 53.13 מעלות
סעיף ב – גודל הזווית · המשך
∢BAC ≈ 53.13 מעלות
∢OAC = ∢BAC2
נציב ∢BAC ≈ 53.13:
∢OAC = 53.132 ≈ 26.565 מעלות
✅ פתרון סופי: ∢OAC ≈ 26.565 מעלות
סעיף ג – יחס השטחים
נחשב צלעות באמצעות tan∢OAC: מ־sin∢BAC = 0.8 ו־cos∢BAC = 0.6 נקבל tan∢OAC = 0.5 (אפשר גם במחשבון: tan26.565 ≈ 0.5).
AE = OEtan∢OAC
📐 נוסחה: tan במשולש ישר זווית
נציב OE = R ו־tan∢OAC = 0.5:
AE = R0.5 = 2R
AC = 2 · AE
נציב AE = 2R:
📐 נוסחה: tan במשולש ישר זווית
tan = ניצב מול הזוויתניצב ליד הזווית
סעיף ג – יחס השטחים · המשך
נציב AE = 2R:
AC = 2 · 2R = 4R
SABC = ½ · AB · AC · sin∢BAC
📐 נוסחה: שטח משולש לפי שתי צלעות והזווית שביניהן
נציב AB = 2.5R , AC = 4R ו־sin∢BAC = 0.8:
SABC = ½ · 2.5R · 4R · 0.8 = 4R2
במשולש AOB: הישר AB משיק למעגל, ולכן המרחק של O מ־AB הוא R – זה הגובה לצלע AB:
📐 נוסחה: שטח משולש לפי שתי צלעות והזווית שביניהן
S = ½ · a · b · sin∢C
סעיף ג – יחס השטחים · המשך
במשולש AOB: הישר AB משיק למעגל, ולכן המרחק של O מ־AB הוא R – זה הגובה לצלע AB:
SAOB = ½ · AB · R
📐 נוסחה: שטח משולש
נציב AB = 2.5R:
SAOB = ½ · 2.5R · R
SAOB = 1.25R2
SABCSAOB
📐 נוסחה: שטח משולש
S = בסיס · גובה2
סעיף ג – יחס השטחים · המשך
SABCSAOB
נציב את שני השטחים:
SABCSAOB = 4R21.25R2 = 3.2 = 165
✅ פתרון סופי: SABCSAOB = 165
סעיף ד – הרדיוס R
נמצא קודם את BC בלי משפט הקוסינוסים: נוריד גובה BH ל־AC (הזווית A חדה, ו־AH < AC):
BH = AB · sin∢BAC
נציב AB = 2.5R ו־sin∢BAC = 0.8:
BH = 2.5R · 0.8
BH = 2R
AH = AB · cos∢BAC
סעיף ד – הרדיוס R · המשך
AH = AB · cos∢BAC
נציב AB = 2.5R ו־cos∢BAC = 0.6:
AH = 2.5R · 0.6
AH = 1.5R
HC = AC − AH
נציב AC = 4R ו־AH = 1.5R:
סעיף ד – הרדיוס R · המשך
נציב AC = 4R ו־AH = 1.5R:
HC = 4R − 1.5R = 2.5R
BC2 = BH2 + HC2
📐 נוסחה: משפט פיתגורס
נציב BH = 2R ו־HC = 2.5R:
BC2 = (2R)2 + (2.5R)2 = 4R2 + 6.25R2
BC2 = 10.25R2
📐 נוסחה: משפט פיתגורס
a2 + b2 = c2
סעיף ד – הרדיוס R · המשך
BC2 = 10.25R2
BC = R√10.25
נציב את רדיוס המעגל החוסם, 14 (נתון):
BCsin∢BAC = 2 · 14
📐 נוסחה: משפט הסינוסים (עם רדיוס המעגל החוסם)
BC = 28 · sin∢BAC
נציב sin∢BAC = 0.8:
📐 נוסחה: משפט הסינוסים (עם רדיוס המעגל החוסם)
asin∢A = 2Rחוסם
סעיף ד – הרדיוס R · המשך
נציב sin∢BAC = 0.8:
BC = 28 · 0.8 = 22.4
BC = R√10.25
נציב BC = 22.4:
22.4 = R√10.25
R = 22.4√10.25 ≈ 7.0
סעיף ד – הרדיוס R · המשך
R = 22.4√10.25 ≈ 7.0
✅ פתרון סופי: R = 22.4√10.25 ≈ 7
📌 סיכום התשובות
סעיף א
AB = 2Rsin(2∢OAC)
סעיף ב
∢OAC ≈ 26.565 מעלות
סעיף ג
165 = 3.2
סעיף ד
R ≈ 7
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא